Álgebra lineal Ejemplos

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

Paso 1

Suma $16 x^{2}$ y $32 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

Paso 2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3

Sustituye los valores $a = 25$ , $b = - 100$ y $c = 48 x^{2} - 284$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.4

Multiplica $48$ por $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 100$ por $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.6

Suma $10000$ y $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.7

Factoriza $4800$ de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $4800$ de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $4800$ de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $4800$ de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.8

Reescribe $4800 (- x^{2} + 8)$ como $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

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Paso 4.1.8.1

Factoriza $1600$ de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.8.2

Reescribe $1600$ como $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.4

Multiplica $48$ por $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.5

Multiplica $- 100$ por $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.6

Suma $10000$ y $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.7

Factoriza $4800$ de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $4800$ de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.7.2

Factoriza $4800$ de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.7.3

Factoriza $4800$ de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.8

Reescribe $4800 (- x^{2} + 8)$ como $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

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Paso 5.1.8.1

Factoriza $1600$ de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.8.2

Reescribe $1600$ como $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Paso 5.5

Factoriza $2$ de $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Paso 5.5.2

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Paso 5.5.3

Factoriza $2$ de $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Paso 6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.4

Multiplica $48$ por $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.5

Multiplica $- 100$ por $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.6

Suma $10000$ y $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.7

Factoriza $4800$ de $- 4800 x^{2} + 38400$ .

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Paso 6.1.7.1

Factoriza $4800$ de $- 4800 x^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.7.2

Factoriza $4800$ de $38400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.7.3

Factoriza $4800$ de $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.8

Reescribe $4800 (- x^{2} + 8)$ como $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ .

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Paso 6.1.8.1

Factoriza $1600$ de $4800$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.8.2

Reescribe $1600$ como $40^{2}$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.8.3

Agrega paréntesis.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Paso 6.3

Simplifica $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Paso 6.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Paso 6.5

Factoriza $2$ de $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

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Paso 6.5.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Paso 6.5.2

Factoriza $2$ de $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ .

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Paso 6.5.3

Factoriza $2$ de $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ .

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Paso 8

Establece el radicando en $\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

Paso 9

Resuelve $x$

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Paso 9.1

Divide cada término en $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.1.1

Divide cada término en $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 9.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.1.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Paso 9.1.2.1.2

Divide $- x^{2} + 8$ por $1$ .

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

Paso 9.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.1.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$- x^{2} + 8 \geq 0$

Paso 9.2

Resta $8$ de ambos lados de la desigualdad.

$- x^{2} \geq - 8$

Paso 9.3

Divide cada término en $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.3.1

Divide cada término de $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 9.3.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Divide $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Paso 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Paso 9.5

Simplifica la ecuación.

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Paso 9.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.5.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Paso 9.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.5.2.1

Simplifica $\sqrt{8}$ .

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Paso 9.5.2.1.1

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 9.5.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Paso 9.5.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Paso 9.5.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Paso 9.5.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 9.6

Escribe $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ como una función definida por partes.

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Paso 9.6.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 9.6.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 9.6.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 9.6.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 9.6.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Paso 9.7

Obtén la intersección de $x \leq 2 \sqrt{2}$ y $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 9.8

Resuelve $- x \leq 2 \sqrt{2}$ cuando $x < 0$ .

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Paso 9.8.1

Divide cada término en $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 9.8.1.1

Divide cada término de $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 9.8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 9.8.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Paso 9.8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.8.1.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Paso 9.8.1.3.2

Reescribe $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ como $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Paso 9.8.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Paso 9.8.2

Obtén la intersección de $x \geq - 2 \sqrt{2}$ y $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Paso 9.9

Obtén la unión de las soluciones.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Paso 10

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Paso 11